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R-view: Backtesting & # 8211; Harvey & amp; Liu (2018)
Nesta postagem, pego uma visão R de & # 8220; Backtesting & # 8211; Harvey & amp; Liu (2018). & # 8221; Os autores propõem uma alternativa ao desconto de 50% praticado com frequência aplicada aos índices de Sharpe relatados ao avaliar testes de teste de estratégia de negociação. O motivo do desconto deve-se à inevitável mineração de dados inerente à pesquisa, tanto no passado como no presente. Harvey & amp; Liu (HL) propõe uma estrutura de teste de hipóteses múltiplas com um requisito mais rigoroso para determinar o nível de significância de um teste em comparação com testes únicos. HL sugere que o teste de hipótese único utilizado pela maioria dos pesquisadores leva a muitas descobertas falsas (erros de Tipo I). Isso faz sentido intuitivo se você considerar que a probabilidade de encontrar um fator significativo aumenta com o número de fatores testados ou o número de testes realizados.
Para dar um exemplo citado em Harvey & amp; Liu & # 8211; Avaliando estratégias de negociação (que você já ouviu antes), imagine que você receba um e-mail de um gerente que promova um estoque específico. O correio diz para rastrear as recomendações do gerente ao longo do tempo. A recomendação deve ser longa ou curta. O gerente está correto 10 semanas seguidas com suas recomendações. A probabilidade de tal façanha que você figura é muito pequena, de fato uma probabilidade de 0,09765% de ser uma descoberta falsa (0,5 ^ 10 = 0,0009765625) com base em testes de hipóteses únicas. Mas e se o gerente enviasse um correio similar a pessoas de 100k dizendo metade pra demorar e a outra metade para curtir o mesmo estoque. Toda semana, o gerente retira a metade das pessoas da lista de correspondência, a metade para quem a recomendação não funcionou. Toda semana durante 10 semanas, a lista é cortada. No final da semana 10, um total de 97 pessoas sortudas foram os destinatários dessas escolhas perfeitas. Os resultados foram aleatórios, e os destinatários teriam sido enganados.
Em testes de hipóteses múltiplas, o desafio é se proteger contra descobertas falsas. HL argumenta que a correção de cabelo adequada # Sharp # 8221; é não-linear, na medida em que os maiores índices de Sharpe (SR & # 8217; s) são apenas penalizados moderadamente, enquanto o SR & # 8217; s mais marginal. A implicação é que os SR & # 8217; s elevados são mais prováveis ​​descobertas verdadeiras em uma estrutura de teste de hipóteses múltiplas.
Se você gostaria de saltar direto para a implementação do meu R, ele está no final desta publicação. Os autores fazem o seu código Matlab para as Exposições 5 e amp; 6 disponíveis aqui. Simplesmente converti-o em R e adicionei alguns bits extras para fins ilustrativos. [A partir de Aug & # 8217; 17 estas funções estão disponíveis em quantstrat como haircut. Sharpe and profit. hurdle]
HL menciona 5 ressalvas à sua estrutura, nomeadamente;
Os índices de Sharpe podem não ser métricas adequadas para estratégias com retornos esperados negativamente comprometidos, como estratégias de opção. Os índices de Sharpe normalizam os retornos com base na sua volatilidade (isto é, risco de mercado), o que pode não ser o reflexo mais adequado do risco para uma estratégia. Determinando o nível de significância apropriado para teste múltiplo (onde em testes individuais 5% é o ponto de corte normal). O método de teste múltiplo que você escolhe pode produzir conclusões diferentes. A HL propõe 3 métodos em conjunto com uma média. Por fim, e eu diria de forma mais sensível o número de testes usados.
Relacionando a relação Sharpe com a estatística t.
Para explicar o vínculo entre a razão de Sharpe e o t-stat e a aplicação de um ajuste de valor múltiplo de teste múltiplo, HL usa o caso mais simples de uma estratégia de investimento individual. Assuma uma hipótese nula em que o retorno médio da estratégia é significativamente diferente de zero, implicando, portanto, uma hipótese alternativa de 2 lados. Uma estratégia pode ser considerada rentável se seus retornos médios forem de ambos os lados, já que os investidores podem geralmente passar por um período longo ou curto. Uma vez que os retornos serão, pelo menos, normalmente distribuídos assintimicamente (graças ao teorema do limite central), uma estatística t que segue uma distribuição t pode ser construída e testada quanto ao significado. No entanto, devido ao vínculo entre o índice de Sharpe e o t-stat, é possível avaliar o significado do excesso de excesso de estratégia diretamente usando a relação de Sharpe. Assuma denota a média da sua amostra de retornos históricos (diários ou semanais, etc.) e indica desvio padrão, então.
onde T-1 é graus de liberdade e desde então.
pode-se mostrar isso.
Por implicação, uma razão de Sharpe mais alta equivale a uma maior proporção de t, o que implica um maior nível de significância (menor valor de p) para uma estratégia de investimento. Se denotamos valor p do teste único, então podemos apresentar o valor p do teste único como.
Agora, se o pesquisador estivesse explorando uma determinada teoria econômica, esse p-valor poderia ter sentido, e se o pesquisador testasse estratégias múltiplas e apresentasse apenas o mais lucrativo? Neste caso, o valor p do teste único pode exagerar gravemente o significado real. Um valor de p verdade mais verdadeiro seria um valor de teste múltiplo ajustado, que assumindo que denotamos como poderia ser representado como.
Ao equiparar o valor de p de um único teste para um valor p de teste múltiplo, obtemos a equação de definição de qual é.
Usando o exemplo na HL, assumindo uma estratégia com 20 anos de retornos mensais (T = 240), uma taxa Sharpe anual (SR) de 0,75, você teria um valor p para o teste único.
Para calcular o único valor de p e o valor p de teste múltiplo, supondo que os pesquisadores tentaram N = 200 estratégias, você pode usar o código R abaixo para calcular o corte ajustado ou # 8220; # 8221; Rácio Sharpe;
O código deve produzir um HSR de 0,325 (HL cede 0,32 devido ao arredondamento dos valores p simples e múltiplo), o que implica um corte de cabelo na relação Sharpe original de 56,6% (relatório HL de um corte de cabelo de 60%). O exemplo acima não é mais apropriado onde t-statistics são dependentes. Mais sobre isso mais tarde.
Múltiplos métodos de teste múltiplo.
HL menciona 3 métodos de ajuste bem conhecidos na literatura de estatística, que são originalmente prescritos no papel & # 8220; & # 8230; e a seção transversal de Retornos esperados & # 8221; por Harvey, Liu e Zhu. Estes são Bonferroni, Holm, Benjamini, Hochberg e Yekutieli (BHY).
Bonferroni aplica o mesmo ajuste ao valor p de cada teste, inflando o valor p pelo número de testes. O valor p de teste múltiplo é o mínimo de cada valor de p inflado e 1 onde 1 (ou 100% se você preferir) é o limite superior de probabilidade. HL usa o exemplo de p-valores de 6 estratégias onde os valores p são (0,005, 0,009, 0,0128, 0,0135, 0,045, 0,06). De acordo com um corte de significância de 5%, os primeiros 5 testes seriam considerados significativos. Usando a função p. adjust em R, podemos obter os múltiplos valores de p ajustados e, de acordo com Bonferroni, apenas o primeiro teste seria considerado significativo.
Os ajustes do valor p podem ser categorizados em 2 categorias, nomeadamente: passo único e seqüencial. As correções de um único passo igualmente ajustam os valores de p como Bonferroni. Os ajustes seqüenciais são um procedimento adaptativo baseado na distribuição de p-valores. Métodos sequenciais ganharam proeminência após um trabalho seminal de Schweder & amp; Spjotvoll (1982) e a seção 7.3 deste artigo fornecem um exemplo útil de uma aplicação de múltiplos testes de hipótese de diagnóstico de traçado em R. Holm é um exemplo de um procedimento de teste múltiplo seqüencial. Para Holm, o p-valor ajustado equivalente é.
Usando as mesmas 6 estratégias ilustradas acima, podemos usar p. adjust () para calcular os valores p ajustados Holm.
Vemos na saída acima que os primeiros 2 testes são significativos no ponto de corte de 5%, em comparação com apenas 1 com Bonferroni. Isso se deve ao fato de que Bonferroni ajusta testes únicos igualmente, enquanto a Holm aplica uma abordagem seqüencial. Por conclusão, não deve surpreendê-lo que os índices ajustados de Sharpe sob Bonferroni serão, portanto, mais baixos do que para Holm. Neste ponto, é útil mencionar que Holm e Bonferroni tentam evitar até 1 erro de Tipo I que ocorra, controlando o que é chamado de taxa de erro familiar (FWER). O próximo ajuste proposto pela HL é BHY e a principal diferença dos dois métodos de ajuste anteriores é que a BHY tenta controlar a taxa de descoberta falsa (FDR), o que implica maior tolerância do que Holm e Bonferroni e, portanto, espera que elas produza taxas de Sharpe ajustadas mais altas.
BHY & # 8211; (Benjamini, Hochberg e Yekutieli):
A formulação BHY & # 8217; s do FDR pode ser representada da seguinte forma. Em primeiro lugar, todos os valores de p são classificados em ordem decrescente e a seqüência ajustada de p-valor é definida por comparações de pares.
c (M) é definido da seguinte forma.
fazendo c (M) = 2.45 para o exemplo de M = 6 estratégias (ou seja, soma de 1/1 + 1/2 + 1/3 +1/4 + 1/5 + 1/6). Usando p. adjust () podemos ver que existem agora 4 estratégias significativas no ponto de corte de 5%. A saída de p. adjust abaixo é ligeiramente diferente da implementação BHY de HL & # 8217; p. adjust () não equivale ao valor p menos significativo 0,06.
Então, para resumir esses métodos, BHY leva a 4 descobertas significativas versus Holm & # 8217; s 2 e Bonferroni & # 8217; s 1. Esperamos que BHY seja mais indulgente, pois controla a taxa de descoberta falsa enquanto Holm e Bonferroni controlam o erro familiar taxa, tentando eliminar até 1 descoberta falsa. Bonferroni é mais rigoroso do que Holm, pois é um ajuste de um único passo versus a abordagem seqüencial de Holm. Com esses 3 métodos, a HL tenta ajustar os valores de p para dar conta dos testes múltiplos e depois convertê-los em relações Sharpe de corte de cabelo e, assim, controlar a mineração de dados. Tanto para Holm como para BHY você precisa da distribuição empírica de valores p de estratégias previamente testadas. Harvey, Liu e Zhu (HLZ), mais de 300 fatores de risco documentados na literatura financeira. No entanto, o uso deste modelo para a distribuição de valores p não está completo, já que muitas estratégias tentadas não foram documentadas (referidas como Bias de Publicação), além de serem potencialmente correlacionadas, violando o requisito de independência entre os testes. A HLZ propõe uma nova distribuição para superar essas falhas.
Harvey, Liu e Zhu (HLZ)
Conforme mencionado anteriormente HLZ estudo mais de 300 fatores testados para explicar a seção transversal de padrões de retorno. Eles publicam uma lista de suas fontes aqui em formato de planilha. Apenas olhando para a história dos fatores publicados, eles mostram que a descoberta de fator aumenta a cada década.
Usando as estatísticas t publicadas com esses documentos (supondo que eles sejam de forma econômica e estatística) HLZ realiza os 3 procedimentos de teste múltiplos descritos acima (Bonferroni, Holm e BHY). Eles concluem sob o pressuposto de que, se todos os fatores provados forem publicados, um estatuto t de limite mínimo adequado para uma significância de 5% é 2,8, o que equivale a um valor de p de 0,50% para testes individuais. Embora a hipótese de todos os fatores tentados que estão sendo publicados não é razoável, a HLZ argumenta que a análise serve para fornecer um limite mínimo para aceitar o significado de testes futuros.
HLZ limita a sua amostra de fatores a fatores de risco únicos de modo a manter a dependência do teste ao mínimo. Este é um requisito para os 3 procedimentos de teste múltiplos descritos acima. Mas sabemos que os requisitos para serem publicados são bastante rigorosos e provavelmente se limitam a testes que mostram estatísticas t significativas. HLZ estima que 71% dos testes experimentados não são publicados (ver o apêndice B da HLZ para detalhes), e com base nisso, juntamente com a implementação dos 3 procedimentos de ajuste, a HLZ propõe uma estatística t de benchmark de 3.18. Intuitivamente, isso é maior do que anteriormente (2.8) quando a hipótese foi todos os fatores provados foram publicados.
E quanto à dependência do teste, ou seja. correlação entre estatísticas de teste?
Este será o caso em que os fatores testaram modelos de formas semelhantes de risco e, portanto, estão correlacionados. Pense sobre a multidão de fatores múltiplos de preço. Supondo no extremo de que todos os fatores estão diretamente correlacionados em 100%, então, nenhum ajuste para o teste único seria necessário, pois você seria penalizar os erros de Tipo I (descobertas falsas) com muita dificuldade no risco de aumentar a taxa de erro Tipo II (descobertas perdidas ). Em testes múltiplos, a literatura de estatísticas tenta explicar a correlação através de vários métodos, incluindo o reescalonamento de todo o conjunto de dados. Nos procedimentos de bootstrap de pesquisa financeira estão sendo usados ​​para avaliar o significado de testes individuais e inferir a habilidade do gestor de fundos versus chance. Na verdade, é isso que pretendemos alcançar com mcsim () e txnsim () no pacote R: blotter. No entanto, uma vez que a HLZ não tem acesso aos conjuntos de dados utilizados para os fatores publicados na maioria dos casos, eles, em vez disso, inferem uma distribuição usando as estatísticas t publicadas. Eles sugerem uma distribuição mista, na qual a hipótese nula de que os retornos médios são zero é extraída de uma distribuição normal e a hipótese alternativa de que os retornos médios não são zero é extraída de uma distribuição exponencial. Isso deve ter sentido econômico se alguém pressupõe estratégias mais lucrativas que são menos propensas a existir em um mundo economicamente escasso. Usando alguma magia estatística (Seção 4 e Apêndice A em HLZ, que eu espero abordar mais especificamente em uma publicação futura) HLZ propor estimativas de parâmetros do modelo da seguinte maneira:
Usando os pressupostos de linha de base para o número de testes não observados, pode-se usar Harvey & amp; O código da Liu na Figura 5 e amp; 6 (replicado em R abaixo) para determinar o coeficiente de Sharpe adequado (HSR) ou o retorno médio necessário para um determinado nível de significância, ambos levando em consideração um número assumido de testes.
Conclusão.
A mineração de dados é inevitável e, em alguns aspectos, representa o ganho de conhecimento. Contabilizar isso ao medir a significância estatística é um requisito. O julgamento terá que ser exercido ao considerar os níveis de significância e qual a técnica de teste múltiplo é mais apropriada. Bonferroni e Holm são apropriados para testes de missão crítica, como pesquisa médica ou missões espaciais. É desejável controlar a taxa de erro de um único evento. Onde a aplicação não é uma questão de vida ou morte que controle a taxa de descobertas falsas pode ser mais desejável. Talvez isso se aplique ao financiamento. Talvez não. De qualquer forma, os requisitos de significância estatística das estratégias comerciais ao longo do tempo estão se tornando mais rigorosos. Isso é natural; a maioria dos verdadeiros fatores teria sido descoberta e o custo dos dados de mineração diminuiu e continua a fazê-lo a uma taxa impressionante. Em outras ciências, como física e medicina / genômica, os testes exigem que 5 desvios-padrão sejam considerados significativos. O campo das finanças é liderado na mesma direção em que são publicados mais fatores. Supondo que a relação Sharpe amplamente utilizada seja uma medida aplicável para a avaliação da sua nova estratégia, você seria bem servido para considerar seu equivalente ao corte de cabelo.
Referências.
R implementação do Anexo 5 (Haircut_SR. m e sample_random_multests. m)
R implementação do Anexo 6 ​​(Profit_Hurdle. m)
Observe que você precisará da função sample_random_multests () acima para executar o código Profit_Hurdle R.